La Igualdad de Euler

Leonhard Euler fue un matemático y físico suizo que vivió en el siglo XVIII. Es considerado uno de los grandes genios de la historia de la Ciencia. A él le debemos la existencia del número que lleva su nombre, el número e. Si quisiésemos hablar de todo lo que hizo, esta entrada se haría interminable, por lo que hoy me centraré en la famosa Ecuación de Euler:





Vamos a intentar demostrar esta identidad de gran belleza a partir de las Series de Taylor y Maclaurin, que son representaciones de una función (como el seno, el coseno o una exponencial) a partir de la suma de infinitos términos. Por ejemplo: sen 45º se puede escribir como la suma de infinitos sumandos que converge hacia el valor concreto del se 45º. Las series que necesitaremos son las siguientes:















También necesitaremos algo de números complejos. Recordemos que un número complejo z puede escribirse como z = a + bi, siendo i la unidad imaginaria (raiz cuadrada de -1). Podemos escribir lo siguiente:





Ahora intentemos escribirlo mediante las Series de Taylor:

Podemos observar que hay algunos términos que poseen la unidad imaginaria i, pero otros no. Vamos a llamar A a la suma de los términos que incluyen i, y B a la suma de los que no:





Siendo un poco observadores, podemos escribir lo siguiente:





Ahora vamos a igualar b al número pi:





Con lo que queda demostrada la Identidad de Euler, dotada de una belleza espectacular y de misterio. Relaciona los cinco números básicos de las Matemáticas de una forma asombrosamente básica.


No sabemos cuál es su significado, pero sabemos que es verdad: una verdad eterna y bella, por lo que muchos la consideran la igualdad más importante de las Matemáticas.




Podemos tomar logaritmo neperiano a ambos lados y observar cuánto vale el logaritmo neperiano de -1:





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Un saludo, nos vemos en la próxima!












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